根轨迹图
回授系统的根轨迹图是用绘图的方式在复数s-平面上画出在系统参数变化时，回授系统闭回路极点的可能位置。这些点是根轨迹图中满足角度条件（angle condition）的点。根轨迹图中特定点的参数数值可以用量值条件（magnitude condition）来计算。
假设有个回授系统，输入信号
X
(
s
)
{\displaystyle X(s)}
、输出信号
Y
(
s
)
{\displaystyle Y(s)}
。其顺向路径传递函数为
G
(
s
)
{\displaystyle G(s)}
，回授路径传递函数为
H
(
s
)
{\displaystyle H(s)}
。
此系统的闭回路传递函数为[1]
T
(
s
)
=
Y
(
s
)
X
(
s
)
=
G
(
s
)
1
+
G
(
s
)
H
(
s
)
{\displaystyle T(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}={\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}}
因此，闭回路传递函数的极点为特征方程式
1
+
G
(
s
)
H
(
s
)
=
0
{\displaystyle 1+G(s)H(s)=0}
的根，方程式的根可以令
G
(
s
)
H
(
s
)
=
−
1
{\displaystyle G(s)H(s)=-1}
来求得。
若是一个没有纯粹延迟的系统，
G
(
s
)
H
(
s
)
{\displaystyle G(s)H(s)}
的乘积为有理的多项式函数，可以表示为[2]
G
(
s
)
H
(
s
)
=
K
(
s
+
z
1
)
(
s
+
z
2
)
⋯
(
s
+
z
m
)
(
s
+
p
1
)
(
s
+
p
2
)
⋯
(
s
+
p
n
)
{\displaystyle G(s)H(s)=K{\frac {(s+z_{1})(s+z_{2})\cdots (s+z_{m})}{(s+p_{1})(s+p_{2})\cdots (s+p_{n})}}}
其中
−
z
i
{\displaystyle -z_{i}}
为
m
{\displaystyle m}
个零点，
−
p
i
{\displaystyle -p_{i}}
为
n
{\displaystyle n}
个极点，而
K
{\displaystyle K}
为增益。一般而言，root locus diagram会标示在不同参数
K
{\displaystyle K}
时，传递函数极点的位置。而root locus plot就会画出针对任意
K
{\displaystyle K}
值下，使
G
(
s
)
H
(
s
)
=
−
1
{\displaystyle G(s)H(s)=-1}
的极点 ，但无法看出
K
{\displaystyle K}
值变化时，极点移动的趋势。
因为只有
K
{\displaystyle K}
的系数以及简单的单项，此有理多项式的值可以用向量的技巧来计算，也就是将量值相乘或是相除，角度相加或是相减。向量公式的由来是因为有理多项式
G
(
s
)
H
(
s
)
{\displaystyle G(s)H(s)}
的每一个因式
(
s
−
a
)
{\displaystyle (s-a)}
就表示一个s-平面下由
a
{\displaystyle a}
到
s
{\displaystyle s}
的向量，因此可以透过计算每一个向量的量值及角度来计算多项式。
根据矩阵数学，有理多项式的相角等于所有分子项的角度和，减去所有分母项的角度和。因此若要测试s-平面上的一点是否在根轨迹图上，只要看开回路的零点及极点即可，这称为角度条件。
有理多项式的量值也是所有分子项的量值乘积，再除以所有分母项量值的乘积。若只是要确认一个s-平面上的点是否在根轨迹图上，不需要计算有理多项式的量值，因为
K
{\displaystyle K}
值会变，而且可以是任意的整数。针对根轨迹图上的每一点，都可以计算其对应的
K
{\displaystyle K}
值，此即为量值条件。
以前绘制根轨迹图会使用名叫Spirule的特殊量角器，可以用来确认角度并且绘制根轨迹图[3]
根轨迹图只能提供在增益
K
{\displaystyle K}
变化时闭回路极点的位置资讯。
K
{\displaystyle K}
的数值不影响零点的位置，闭回路零点和开回路的零点相同。
角度条件
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主条目：角度条件
复数s平面上的点
s
{\displaystyle s}
若满足下式，即符合角度条件（angle condition）
∠
(
G
(
s
)
H
(
s
)
)
=
π
+
2
k
π
{\displaystyle \angle (G(s)H(s))=\pi +2k\pi }
其中
k
{\displaystyle k}
为整数。
也就是说
∑
i
=
1
m
∠
(
s
+
z
i
)
−
∑
i
=
1
n
∠
(
s
+
p
i
)
=
π
+
2
k
π
{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\angle (s+z_{i})-\sum _{i=1}^{n}\angle (s+p_{i})=\pi +2k\pi }
开回路零点到
s
{\displaystyle s}
点角度的和，减去开回路极点到
s
{\displaystyle s}
点角度的和，除
2
π
{\displaystyle 2\pi }
后的馀数需等于
π
{\displaystyle \pi }
。
量值条件
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主条目：量值条件
在根轨迹图上的特定点
s
{\displaystyle s}
，数值
K
{\displaystyle K}
若使下式成立，就符合量值条件（magnitude condition）
|
G
(
s
)
H
(
s
)
|
=
1
{\displaystyle |G(s)H(s)|=1}
也就是说
K
|
s
+
z
1
|
|
s
+
z
2
|
⋯
|
s
+
z
m
|
|
s
+
p
1
|
|
s
+
p
2
|
⋯
|
s
+
p
n
|
=
1
{\displaystyle K{\frac {|s+z_{1}||s+z_{2}|\cdots |s+z_{m}|}{|s+p_{1}||s+p_{2}|\cdots |s+p_{n}|}}=1}
.